Аполоново уплътнение е вид фрактално изображение, което се формира от колекция от постоянно свиващи се кръгове, съдържащи се в един голям кръг. Всеки кръг в Аполоновото уплътнение е допирателен към съседните кръгове - с други думи, кръговете в Аполоновото уплътнение осъществяват контакт в безкрайно малки точки. Наречен на гръцкия математик Аполоний от Перга, този тип фрактал може да бъде нарисуван (на ръка или чрез компютър) до разумна степен на сложност, образувайки красив, поразителен образ. Вижте Стъпка 1 по -долу, за да започнете.
Стъпки
Част 1 от 2: Разберете ключови концепции
За да бъде напълно ясно, ако просто се интересувате от рисуване на Аполонов уплътнител, не е от съществено значение да изследвате математическите принципи зад фрактала. Ако обаче искате по -задълбочено разбиране на Аполоновите уплътнения, важно е да разберете дефинициите на няколко понятия, които ще използваме, когато ги обсъждаме.
Стъпка 1. Определете ключови термини
Следните термини се използват в инструкциите по -долу:
- Аполонов уплътнител: Едно от няколкото имена за тип фрактал, съставен от поредица от кръгове, вложени в един голям кръг и допиращ се до всички останали наблизо. Те се наричат още „Содни кръгове“или „Кръгове за целувки“.
- Радиус на окръжност: Разстоянието от централната точка на кръга до ръба му. Обикновено се присвоява променливата r.
- Кривина на окръжност: Положителната или отрицателната обратна на радиуса, или ± 1/r. Кривината е положителна, когато се занимава с външната кривина на кръга и отрицателна за вътрешната кривина.
- Тангенс: Термин, приложен към линии, равнини и форми, които се пресичат в една безкрайно малка точка. В Аполоновите уплътнения това се отнася до факта, че всеки кръг докосва всеки близък кръг само в една точка. Обърнете внимание, че няма пресичане - допирателните форми не се припокриват.
Стъпка 2. Разберете теоремата на Декарт
Теоремата на Декарт е формула, която е полезна за изчисляване на размерите на кръговете в Аполоново уплътнение. Ако дефинираме кривините (1/r) на произволни три окръжности съответно като a, b и c, теоремата гласи, че кривината на окръжността (или кръговете), допираща се до трите, която ще определим като d, е: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
За нашите цели обикновено ще използваме само отговора, който получаваме, като поставим знак плюс пред квадратния корен (с други думи, … + 2 (sqrt (…)). Засега е достатъчно да знаете, че изваждането Формата на уравнението има приложение в други свързани задачи
Част 2 от 2: Конструиране на Аполоновото уплътнение
Аполоновите уплътнения са под формата на красиви фрактални подредби от свиващи се кръгове. Математически Аполоновите уплътнения имат безкрайна сложност, но независимо дали използвате компютърна програма за рисуване или традиционни инструменти за рисуване, в крайна сметка ще достигнете точка, в която е невъзможно да нарисувате по -малки кръгове. Обърнете внимание, че колкото по -точно нарисувате кръговете си, толкова повече ще можете да поберете в уплътнението си.
Стъпка 1. Съберете вашите цифрови или аналогови инструменти за рисуване
В стъпките по -долу ще направим наше собствено просто Аполоново уплътнение. Възможно е да нарисувате Аполонови уплътнения на ръка или на компютър. И в двата случая ще искате да можете да нарисувате перфектно кръгли кръгове. Това е доста важно. Тъй като всеки кръг в Аполоново уплътнение е перфектно допиращ се до кръговете до него, кръговете, които са дори леко деформирани, могат да „изхвърлят“крайния ви продукт.
- Ако рисувате уплътнението на компютър, ще ви е необходима програма, която ви позволява лесно да рисувате кръгове с фиксиран радиус от централна точка. Gfig, разширение за векторно рисуване за безплатната програма за редактиране на изображения GIMP, може да се използва, както и голямо разнообразие от други програми за рисуване (вижте раздела с материали за съответните връзки). Вероятно също ще ви е необходимо приложение за калкулатор и документ за текстообработка или физически бележник за водене на бележки за кривините и радиусите.
- За да нарисувате уплътнението на ръка, ще ви е необходим калкулатор (предложен научен или графичен), молив, компас, линийка (за предпочитане скала с милиметрова маркировка, диаграма и бележник за водене на бележки.
Стъпка 2. Започнете с един голям кръг
Първата ви задача е лесна - просто нарисувайте един голям, идеално кръгъл кръг. Колкото по -голям е кръгът, толкова по -сложен може да бъде вашият уплътнител, затова се опитайте да направите кръг толкова голям, колкото позволява хартията ви, или толкова голям, колкото лесно можете да видите в един прозорец на вашата програма за рисуване.
Стъпка 3. Създайте по -малък кръг вътре в оригинала, допиращ се от едната страна
След това нарисувайте друг кръг вътре в първия, който е по -малък от оригинала, но все пак доста голям. Точният размер на втория кръг зависи от вас - няма правилен размер. За нашите цели обаче нека нарисуваме втория си кръг, така че да достигне точно по средата на големия ни външен кръг. С други думи, нека нарисуваме втория си кръг, така че централната му точка да е средната точка на радиуса на големия кръг.
Не забравяйте, че в Аполоновите уплътнения всички кръгове, които се докосват, са допирателни един към друг. Ако използвате компас, за да нарисувате кръговете си на ръка, пресъздайте този ефект, като поставите острата точка на компаса в средата на радиуса на големия външен кръг, като настроите молива си така, че да докосва само ръба на големия кръг, след това нарисувайте по -малкия си вътрешен кръг
Стъпка 4. Начертайте еднакъв кръг "срещу" по -малкия вътрешен кръг
След това нека нарисуваме друг кръг срещу нашия първи. Този кръг трябва да бъде допиращ както към големия външен кръг, така и към по -малкия вътрешен кръг, което означава, че двата ви вътрешни кръга ще се докоснат в точната средна точка на големия външен кръг.
Стъпка 5. Приложете теоремата на Декарт, за да намерите размера на следващите си кръгове
Нека спрем да рисуваме за момент. Сега, когато имаме три кръга в нашето уплътнение, можем да използваме теоремата на Декарт, за да намерим радиуса на следващия кръг, който ще нарисуваме. Не забравяйте, че теоремата на Декарт е d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), където a, b и c са кривините на трите ви допирателни окръжности и d е кривината на окръжността, допираща се към трите. Така че, за да намерим радиуса на следващия ни кръг, нека намерим кривината на всеки от кръговете, които имаме досега, за да можем да намерим кривината на следващия кръг, след което да го преобразуваме в неговия радиус.
-
Нека определим радиуса на външния ни кръг като
Етап 1.. Тъй като другите кръгове са вътре в този, ние се занимаваме с вътрешната му кривина (а не с външната му кривина) и следователно знаем, че кривината му е отрицателна. -1/r = -1/1 = -1. Извивката на големия кръг е - 1.
-
Радиусите на по -малките кръгове са наполовина по -големи от големите кръгове или, с други думи, 1/2. Тъй като тези кръгове се допират един до друг и големият кръг с външния им ръб, ние се занимаваме с външната им кривина, така че техните кривини са положителни. 1/(1/2) = 2. Кривините на по -малките кръгове са и двете
Стъпка 2..
-
Сега знаем, че a = -1, b = 2 и c = 2 за уравнението на теоремата на Декарт. Нека решим за d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Кривината на следващия ни кръг е
Стъпка 3.. Тъй като 3 = 1/r, радиусът на следващата ни окръжност е 1/3.
Стъпка 6. Създайте следващия си кръг
Използвайте стойността на радиуса, която току -що открихте, за да нарисувате следващите си два кръга. Не забравяйте, че те ще бъдат допирателни към кръговете, чиито кривини сте използвали за a, b и c в теоремата на Декарт. С други думи, те ще бъдат допиращи както към първоначалния, така и към втория кръг. За да бъдат тези кръгове допирателни към трите кръга, ще трябва да ги нарисувате в отворените пространства в горната и долната част на областта във вашия голям първоначален кръг.
Не забравяйте, че радиусите на тези кръгове ще бъдат равни на 1/3. Измерете 1/3 назад от ръба на външния кръг, след това нарисувайте новия си кръг. Тя трябва да бъде допирателна към трите околни кръга
Стъпка 7. Продължете по този начин, за да продължите да добавяте кръгове
Тъй като те са фрактали, Аполоновите уплътнения са безкрайно сложни. Това означава, че можете да добавяте все по -малки кръгове към вашето сърце. Вие сте ограничени само до прецизността на вашите инструменти (или, ако използвате компютър, възможността на вашата програма за рисуване да "увеличава"). Всеки кръг, колкото и малък да е, трябва да бъде допирателен към три други кръга. За да нарисувате всеки следващ кръг в уплътнението си, включете кривините на трите кръга, към които ще бъде допирателна, в теоремата на Декарт. След това използвайте отговора си (който ще бъде радиусът на новия ви кръг), за да нарисувате точно новия си кръг.
- Обърнете внимание, че уплътнението, което сме избрали да нарисуваме, е симетрично, така че радиусът на един кръг е същият като съответния кръг "срещу него". Знайте обаче, че не всяко Аполоново уплътнение е симетрично.
-
Нека се спрем на още един пример. Да кажем, че след като нарисуваме последния си кръг, сега искаме да нарисуваме кръговете, които са допирателни към третия ни набор, втория ни набор и големия ни външен кръг. Кривините на тези кръгове са съответно 3, 2 и -1. Нека включим тези числа в теоремата на Декарт, като зададем a = -1, b = 2 и c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Имаме два отговора! Но тъй като знаем, че новият ни кръг ще бъде по -малък от всеки от кръговете, към които е допирателен, само кривина на
Стъпка 6. (и следователно радиус от 1/6) има смисъл.
- Другият ни отговор, 2, всъщност се отнася до хипотетичната окръжност от другата страна на допирателната точка на втората и третата ни окръжност. Този кръг е допирателна както към тези кръгове, така и към големия външен кръг, но ще пресича кръговете, които вече сме начертали, така че можем да го пренебрегнем.
Стъпка 8. За предизвикателство, опитайте да направите несиметрично Аполоново уплътнение, като промените размера на втория си кръг
Всички Аполонови уплътнения започват еднакво - с голям външен кръг, който действа като ръба на фрактала. Въпреки това, няма причина вашият втори кръг задължително да има 1/2 радиуса на първия - ние просто избрахме да направим това по -горе, защото е просто и лесно за разбиране. За забавление, опитайте да стартирате ново уплътнение с втори кръг с различен размер - това ще доведе до вълнуващи нови пътища за изследване.
